МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИНТЕНЦИИ ФИЛОСОФИИ
Кушнаренко С.П.
Доцент, к.филос
наук, доцент по кафедре
Новосибирский
государственный
архитектурно-строительный университет
Россия, г.Новосибирск
Аннотация. В статье рассматривается
значение математики для философии. Выявляются истоки единства философии и математики. Показывается, что изначальный
смысл математики – в том, что она выражает в предельно рационализированной
форме духовные деяния человека, т.е.,
личностные поступки. В силу этого математика оказывается средством прояснения
философии как рационального способа выражения бытия человека.
Ключевые слова: математика, континуум,
множество, точка, поступок, бытие
Актуальность проблемы.
Философский интерес к математике связан с тем, что математика как предельно рационализированная
форма выражения мысли изначально близка философии, – как это и было
зафиксировано Платоном на дверях его философской Академии: «Не геометр да не
войдёт». В эпоху постмодерна и дискредитации рационального как такового
актуально возвращение к точке единства этих двух дисциплин мысли. Не случайно в
современности мы видим возрождение интереса к математике со стороны философии –
например, в учениях Ж.Делёза и А.Бадью. Несмотря на
указанное оживление интереса философов к математике, следует отметить, что современное понимание математики отлично от
того смысла, который она имела, например, в античности. Необходимо поэтому
выявление изначального смысла математики, стоящего как за современным, так и
античным пониманием её существа. Прояснение же изначального смысла «матемы» оказывается неразрывно связанным с прояснением существа
самой философии. Таким образом, для ответа на вопрос о соотношении философии и
математики необходимо выявление
предрассудков самой философии, – что есть проблема, поскольку с последней мы сталкиваемся всегда, когда требуется
изменить наличную точку зрения на обсуждаемый вопрос.
Решение
проблемы. Как раскрывает М. Хайдеггер смысл
платоновского утверждения, «это изречение вовсе не имеет в виду, что философ
обязан прежде быть дипломирован по предмету “Геометрия”, а скорее, есть понимание
того, что основная предпосылка для действительной способности познания и мудрости
– это постижение фундаментальных предпосылок всякого знания и привнесённой
вместе с этим знанием позиции. Знание, в котором не схватывается основа его
познаваемости и, тем самым, его границы, является не знанием, но простым
мнением. Математическое, в изначальном смысле узнавания того, что уже знают, –
это основная предпосылка “академической” работы» [1, S. 76].
При таком академически строгом
подходе к философствованию выясняется, что многие философские понятия и представления
на деле имеют лишь метафорический смысл, который становится точным при
выявлении имплицитно полагаемой в данной
метафоре математической конструкции. В частности, идея Хайдеггера относительно
возможностей, открывающихся перед экзистенцией в
бытии, опирается на интуитивно полагаемую идею континуума этих возможностей –
при одновременной непрояснённости самой идеи
континуума. По замечанию В.Тасика, интуиционистская
идея относительно континуума как становящегося многообразия возможностей
оказывается своего рода математической экспликацией структуры хайдеггеровского Dasein:
«Брошенная в этот странный мир, самость… присутствует… в непрерывном открытии
предстоящего ей континуума собственных экзистенциальных возможностей. <…>
самость – структура континуума, в который я “брошен”, который вынуждает меня
всегда быть заинтересованным, “устремлённым в будущее”, требует заботиться о
своём бытии. Это выглядит очень близким к определению Хайдеггером субъекта (Dasein) как такого вида бытия, способ бытия которого
заключается в том, чтобы заботиться о собственном бытии» [2, P. 42]. Тем
самым, точкой схода математики и философии
оказывается деятельное бытие человека.
Простейшей математической моделью жизненного пути человека
является геометрическая линия – траектория. Линия представляет связное
непрерывное множество – континуум. Если полагать эту репрезентацию первичным
смыслом линии, отсюда сразу следует, что континуум не может слагаться из отдельных
точек, – ведь элементами целостного поступка могут выступить только некие
элементарные движения, или, как указывали в теории континуума средневековые
авторы, «кинемы движения». Поэтому континуум не может слагаться из отдельных
точек. Не случайно Брадвардин высказывает в своём
трактате «О континууме» следующие этические следствия из принятия противоположного
утверждения: «Если так, нельзя правильно любить и ненавидеть, должным образом
радоваться и печалиться. Если так, никто не может стать добродетельным или
счастливым» [3, c.156]. Исходя из уникальности жизненной траектории личности,
можно сказать, что каждая из них выстраивает свой континуум. Внешняя одинаковость
траекторий скрывает под собой внутреннее измерение континуума, экранированное
от внешнего наблюдателя.
Существует представление, что континуум представляет собой
непрерывное множество точек. Однако, как отмечает Н. Лузин, большинство учёных
придерживались противоположной точки зрения: «Из всех тезисов Брауэра и Вейля
самым интересным является утверждение, что континуум не есть множество точек.
Эта идея в истории мысли не представляет первой новизны, она восходит ещё к Аквинату, дабы не цитировать древних. Притом до появления
работы Кантора... большинство математиков, чтобы не сказать все, именно и
мыслили континуум как чистую бесточечную
протяжённость» [4, c.32]. По Лейбницу, «точка не есть то, что не имеет частей»[5,
s.68]. Иначе было бы непонятно, каким образом достигается
свойство связности, сцеплённости отдельных частей
континуума между собой. А значит, в каком-то смысле точки соединяются при
помощи своих частей (ибо в противном случае они вообще не могли бы даже
соприкасаться, как показал ещё Демокрит: «Хотя точки
не разделяются на части, расположенные одна вне другой, однако они делимы на
части, взаимно проникающие друг в друга» [Цит. по: 6, c.74]).
По Аристотелю, и Платон «началом линии часто называл неделимые линии» [7, c.90].
Если понимать геометрическую линию как репрезентацию жизненного
пути человека, то её бесконечно малый кусок есть минимальное движение как
человеческое действие, из связной совокупности которых слагается отрезок как
некоторый целостный поступок. Средневековые авторы (Герард
Одонис, Николай Бонет и
др.), рассматривающие поступок в более абстрактном смысле, как движение,
утверждали, что движение состоит из неделимых “кинем”, или атомов движения.
Поэтому континуум предполагает действие: заданных тел, которые существовали
бы сами по себе, независимо от взаимодействия с познающим субъектом, не
существует: «Тело имеет части не актуально, а потенциально: оно получает части,
если его разделить» [Цит. по: 8, c.421]. Но каждая
из выделяемых частей обладает собственной формой, – иначе её нельзя было бы
считать самостоятельной частью. А это значит, что части, в случае континуума
представляющие собой отрезки, имеют внешние границы, – в качестве которых для
континуума выступают концевые точки этих отрезков. Но тогда мы имеем
представление континуума в смысле Аристотеля, а не в смысле, например,
Дедекинда, – по которому любое сечение разбивает континуум на два
непересекающихся множества. В этом случае мы не имеем права говорить о частях континуума,
– поскольку разделяющая точка принадлежит только, например, левому отрезку, – а
правого отрезка у нас тогда не будет, будет лишь открытый интервал. Как
отмечает Л. Витгенштейн, позиция Дедекинда содержит в себе порочный круг:
«Доказательство теоремы Дедекинда оперирует некоей картиной, которая не может
его оправдать, скорее сама эта картина должна быть оправдана данной теоремой»
[9, c.157]. По Аристотелю же континуум не есть атом, в нём можно
выделить разные части, – каждая из которых имеет собственную границу, не сливающуюся
с границей другой части. В самом деле, рассматривая проблему деления отрезка на
две равные части, Аристотель уподобляет это деление зеркальному отражению, –
т.е. считает, что в итоге мы получаем два совершенно идентичных отрезка, каждый
из которых имеет свои собственные концы [10, c.50-51].
Аристотель в этом смысле опирается на физический смысл континуума, т.е., не
разрывает связь данной математической конструкции с её реальными истоками – в
физическом движении и в человеческом поступке.
Выводы. Причиной рассматриваемой в статье проблемы выступило представление
о разорванном сосуществование философии и математики, и её решение состоит в
определении истока их единства – которым является антропологическое измерение
как философии, так и математики. Математика
позволяет прояснить существо философии
только в том случае, если рассматривать математику не как абстрактную дисциплину, а как предельно
строгое выражение духовных актов человека. В
то же время этот изначальный смысл «матемы»
скрывается и за теми формальными конструкциями, которые используются в
современной математике – такими, как, например, континуум.
Список литературы:
1.
Heidegger М. Gesamtausgabe : Bd. 41. Die frage nach dem Ding (zu
Kants Lehre von den trans-zendentalen Grundsatzen)/ М.Heidegger. – Tubingen:
Vittorio Klostermann, 1962. – 256 S.
2. Tasik V. Mathematics and the roots of postmodern thought / V. Tasik. – New York, 2001. – 200 p.
3.
Брадвардин Фома. О
континууме / Фома Брадвардин // Вопросы философии. –
2005. – № 5. – С.149-159.
4.
Лузин Н. Н. Современное
состояние теории функций действительного переменного/ Н.Н.Лузин. – М.; Л.: Государственное
технико-теоретическое издательство, 1933. – 58 с.
5.
Leibniz G. W.
Mathematische Schriften / G. W. Leibniz. – Bd. 6. – Halle, 1860. – 514 s.
6.
Широков В. С.
Средневековая математика и Лейбниц /В.Широков // Историко-математические
исследования. – М., 1985. – Вып. 29. – С. 69-76.
7.
Аристотель. Сочинения :
в 4 т. / Аристотель. – М. : Мысль, 1976. – Т. 1. – 550 с.
8.
Зубов В. П. Вопрос о
«неделимых» и бесконечном в древнерусском литературном памятнике XV в. /
В. П.Зубов // Историко-математические исследования. – М. ; Л., 1950. – Вып. 3. – С.407-430.
9.
Витгенштейн Л. Философские работы. Ч. II. /Л.Витгенштейн.
– М.: «Прогресс», «Культура», 1994. – 210 с.
10. Патнем X. Введение //
Пирс Ч. Рассуждение и логика вещей. М.: РГГУ, 2005. – 371 с.
Сведения об авторе:
Кушнаренко Сергей Петрович – к.филос.наук, доцент кафедры истории и
философии Новосибирского государственного архитектурно-строительного
университета. e-mail: kushnarenko.sergey64@mail.ru
MATHEMATICAL
INTENSITIES OF PHILOSOPHY
Kushnarenko S.P.
Abstract. The article
considers the importance of mathematics for philosophy. The origins of the
unity of philosophy and mathematics are revealed. It is shown that the original
meaning of mathematics is that it expresses, in an extremely rationalized form,
the spiritual deeds of a person, that is, personal actions. Because of this,
mathematics is a means of clarifying philosophy as a rational way of expressing
a person's being.
Keywords: mathematics, continuum, set, point,
act, being.
References:
1. Heidegger M. Gesamtausgabe : Bd. 41. Die frage nach dem Ding (zu Kants
Lehre von den trans-zendentalen Grundsatzen)/ M.Heidegger. – Tubingen: Vittorio
Klostermann, 1962. – 256 S.
2. Tasik V. Mathematics and the roots of postmodern thought /
V. Tasik. – New York, 2001. – 200 p.
3. Bradvardin Foma. O kontinuume /
Foma Bradvardin // Voprosy filosofii. – 2005. – № 5.
– S.149-159.
4. Luzin N. N. Sovremennoye sostoyaniye teorii funktsiy deystvitel'nogo peremennogo/ N.N.Luzin. – M.; L.:
Gosudarstvennoye tekhniko-teoreticheskoye
izdatel'stvo, 1933. – 58 s.
5. Leibniz G.
W. Mathematische Schriften / G. W. Leibniz. – Bd. 6. – Halle, 1860. – 514 s.
6. Shirokov V. S. Srednevekovaya matematika i Leybnits /V.Shirokov // Istoriko-matematicheskiye
issledovaniya. – M., 1985. – Vyp.
29. – S. 69-76.
7. Aristotel'. Sochineniya : v 4 t. / Aristotel'.
– M. : Mysl', 1976. – T. 1. – 550 s.
8. Zubov V. P. Vopros o «nedelimykh» i beskonechnom
v drevnerusskom literaturnom
pamyatnike XV v. / V. P.Zubov
// Istoriko-matematicheskiye issledovaniya.
– M. ; L., 1950. – Vyp. 3. – S.407-430.
9. Vitgenshteyn L. Filosofskiye raboty. CH. II. /L.Vitgenshteyn.
– M.: «Progress», «Kul'tura», 1994. – 210 s.
10. Patnem X. Vvedeniye // Pirs CH. Rassuzhdeniye i logika veshchey.
M.: RGGU, 2005. – 371 s.